"Eesti Teadusfondi uurimistoetus" projekt ETF7489
ETF7489 "Mittekorrektsete ülesannete regulariseerimise algoritmid (1.01.2008−31.12.2011)", Uno Hämarik, Tartu Ülikool, Matemaatika-informaatikateaduskond.
ETF7489
Mittekorrektsete ülesannete regulariseerimise algoritmid
Algorithms for regularization of ill-posed problems
1.01.2008
31.12.2011
Teadus- ja arendusprojekt
Eesti Teadusfondi uurimistoetus
ETIS klassifikaatorAlamvaldkondCERCS klassifikaatorFrascati Manual’i klassifikaatorProtsent
4. Loodusteadused ja tehnika4.4. MatemaatikaP140 Jadad, Fourier analüüs, funktsionaalanalüüs 1.1. Matemaatika ja arvutiteadus (matemaatika ja teised sellega seotud teadused: arvutiteadus ja sellega seotud teadused (ainult tarkvaraarendus, riistvara arendus kuulub tehnikavaldkonda)100,0
PerioodSumma
01.01.2008−31.12.2008150 000,00 EEK (9 586,75 EUR)
01.01.2009−31.12.2009144 000,00 EEK (9 203,28 EUR)
01.01.2010−31.12.2010130 896,00 EEK (8 365,78 EUR)
01.01.2011−31.12.20118 365,20 EUR
35 521,01 EUR

Käesolevas projektis uurime mittekorrektseid ülesandeid, s.o. ülesandeid, mille lahend ei sõltu pidevalt lähteandmetest. Taoliste ülesannete lahendamiseks sobivad algoritmid, mis tagavad lähteandmete veataseme nulliks koondumisel lähislahendi koondumise lahendiks. Sellised algoritmid (regulariseerimisalgoritmid) sisaldavad regulariseerimisparameetrit, mis valitakse sõltuvana lähteandmete veatasemest. Antud projektis uurime kõrvuti klassikaliste regulariseerimismeetoditega ka mitmeid parameetreid sisaldavaid regulariseerimisalgoritme. Täiendavate parameetrite sobiv valik võimaldab kas parandada lähislahendi täpsusjärku või vähendada arvutustöö mahtu. Uuteks regulariseerimismeetoditeks on ekstrapoleeritud Tihonovi ja ekstrapoleeritud Lavrentjevi meetodid, kus lähislahendiks võetakse lähtemeetodi erinevate parameetritega lähendite lineaarkombinatsioonid sobivate kordajatega. Saadud lähislahendid on sileda lahendi korral oluliselt täpsemad kui Tihonovi ja Lavrentjevi meetodite lähislahendid. Ilmutatud ja ilmutamata iteratsiooniskeemides võimaldavad teatud muutuvad parameetrid oluliselt vähendada arvutustöö mahtu. Klassikalistes regularisatsioonimeetodites uurime regularisatsiooniparameetri valikureegleid. Kavas on välja pakkuda üldine parameetrivalikuprintsiip (mis sisaldab erijuhtudena Raus-Gfrereri reeglit, Rausi 1990.a. ja1992.a. artiklite reegleid R1 ning Lepski printsiipi) meetodite klassi jaoks ning samuti uurida võimalusi üldistatud parameetrivaliku kasutamiseks kaasgradientide meetodi korral. Uueks uurimissuunaks meie grupi töös on regulariseerimisparameetri valik mittelineaarsetes ülesannetes. Kavas on rakendada reegli R1 ja Lepski printsiibi kombinatsiooni nii teadaoleva kui ligikaudse veataseme korral. Rakendusülesannete lähteandmete veatase pole sageli teada ning korduval mõõtmisel on võimalik saada mitu komplekti lähteandmeid. Kavas on uurida lähislahendi konstrueerimist ning regulariseerimisparameetri valikut ülesande sellise seade korral.
In the proposed project we investigate ill-posed problems, i.e. problems, whose solution is unstable under data perturbations. For solving these problems adequate are algorithms, which guarantee convergence of the approximate solution to the exact solution, as noise level tends to zero. These algorithms (regularizing algorithms) contain regularization parameter, which must be chosen according to the noise level of the data. In this project we study alongside of classical regularization methods also regularizing algorithms containing several parameters. A proper choice of additional parameters allows to improve the order of error estimate of the approximate solution or to reduce the size of computations. The new regularization methods are the extrapolated Tikhonov method and the extrapolated Lavrentiev method, where for approximate solution the linear combination of approximations of the original method with different parameters and with proper coefficients is taken. If the solution is smooth, the approximations in extrapolated methods are substantially more accurate than the approximations in Tikhonov and Lavrentiev methods. Certain variable parameters in explicit and implicit iteration schemes allow reducing the amount of computations. We also investigate rules for choice of the regularization parameter in classical regularization methods. We plan to give a general principle for choice of the regularization parameter (containing as special cases the Raus-Gfrerer rule, the Lepskii principle and rules R1 from articles of Raus from 1990, 1992) for a class of methods and also to investigate possibilities for using the general principle in conjugate gradient methods. A new direction for our group is choice of the regularization parameter in nonlinear problems. We plan to use the combination of rule R1 and the Lepskii principle in case of the known noise level and also in case of approximately given noise level of the data. In applied ill-posed problems the noise level of data is often unknown and performing repetitive measurements we get different sets of data. We plan to investigate construction of approximate solution and choice of the regularization parameter for this situation.