"Eesti Teadusfondi uurimistoetus" projekt ETF9120
ETF9120 "Mittekorrektsed ülesanded (1.01.2012−30.06.2016)", Uno Hämarik, Tartu Ülikool, Matemaatika-informaatikateaduskond.
ETF9120
Mittekorrektsed ülesanded
Ill-posed problems
1.01.2012
30.06.2016
Teadus- ja arendusprojekt
Eesti Teadusfondi uurimistoetus
ETIS klassifikaatorAlamvaldkondCERCS klassifikaatorFrascati Manual’i klassifikaatorProtsent
4. Loodusteadused ja tehnika4.4. MatemaatikaP140 Jadad, Fourier analüüs, funktsionaalanalüüs 1.1. Matemaatika ja arvutiteadus (matemaatika ja teised sellega seotud teadused: arvutiteadus ja sellega seotud teadused (ainult tarkvaraarendus, riistvara arendus kuulub tehnikavaldkonda)50,0
4. Loodusteadused ja tehnika4.4. MatemaatikaP130 Funktsioonid, diferentsiaalvõrrandid 1.1. Matemaatika ja arvutiteadus (matemaatika ja teised sellega seotud teadused: arvutiteadus ja sellega seotud teadused (ainult tarkvaraarendus, riistvara arendus kuulub tehnikavaldkonda)50,0
PerioodSumma
01.01.2012−31.12.201214 160,00 EUR
01.01.2013−31.12.201314 160,00 EUR
01.01.2014−31.12.201414 160,00 EUR
01.01.2015−31.12.201514 160,00 EUR
56 640,00 EUR

Käesolevas projektis uuritakse mittekorrektseid ülesandeid, s.o. ülesandeid, mille lahend ei sõltu pidevalt lähteandmetest. Teatavasti leitakse mittekorrektse ülesande lähislahend lähteandmete vigade (näit. mõõtmisvigade) mõju vähendamiseks regulariseerimismeetodi abil sõltuvana regulariseerimisparameetrist. Selle parameetri sobiv valik sõltuvalt lähteandmete veatasemest on regulariseerimisel põhiprobleem ning kesksel kohal ka antud grandiprojektis. Hiljuti on meie grupp pakkunud Tihhonovi meetodi jaoks välja üldise 3 parameetrist sõltuva regulariseerimisparameetri valikureeglite pere, mis muuhulgas sisaldab ka kõiki varem tuntuid optimaalset järku veahinnanguid andvaid reegleid. Numbrilised tulemused näitavad, et mõned selles peres sisalduvad uued reeglid annavad oluliselt paremaid tulemusi kui tuntud valikureeglid, eeskätt juhul, kui andmete veatase on kas üle- või alahinnatud. Käesolevas projektis on kavas uurida seda valikureeglite peret nii teoreetiliselt kui numbriliselt. Varasematest reeglitest lähteandmete veataseme suhtes tunduvalt stabiilsemate valikureeglite väljatöötamine võimaldab välja pakkuda efektiivseid parameetrivalikureegleid ka andmete juhusliku vea korral või juhul, kui andmete veatase ei ole teada, kuid on antud mitu andmekomplekti. Kavas on tuletada analoogiline pere ka iteratsioonimeetodite jaoks, samuti enesekaasse operaatori korral. Andmete mitteteadaoleva veataseme juhuks on plaanis välja töötada nn. üldistatud kvaasioptimaalsusprintsiip, mille korral ebaõnnestumiste osakaal oleks väiksem kui kvaasioptimaalsusprintsiibi kasutamisel. Vaatluse all on ka mittelineaarse monotoonse operaatoriga ülesande regulariseerimine Cauchy ülesande meetodiga eesmärgiga välja selgitada, kas või millal võib regulariseerimisparameetri valikus kasutada klassikalist hälbeprintsiipi (hälbeprintsiibi senikasutatatud modifitseering ei taga lähislahendile optimaalset täpsusjärku). Veel on kavas uurida südamlikke Volterra integraaloperaatoreid selgitamaks, milliste ruumide paaride vahel on need operaatorid pööratavad ja pöördoperaatorid tõkestatud. Samuti plaanime uurida vastavate I liiki integraalvõrrandite numbrilist lahendamist polünomiaalse või splain-kollokatsiooni meetodi abil. Samuti kavatseme uurida siseallikate meetodite kasutamisel tekkivate integraalvõrrandite lahendite olemasolu ja ühesust ning lahendusmeetodeid nende võrrandite lahendamisel. Huvi pakuvad meetodite koonduvuskiirus, stabiilsus, regulariseerimine ja efektiivne realiseerimine.
In this project we study ill-posed problems, i.e. problems, solutions of which are unstable under data perturbations. The approximate solution of an ill-posed problem is found by the regularization method and depends on the regularization parameter. The proper choice of the regularization parameter depending on the noise level of the data is the main problem in regularization and the main topic of this project. Recently our group has proposed a general family of parameter choice rules for Tikhonov regularization depending on 3 parameters and including all known rules guaranteeing order optimal error estimate. Numerical results have shown that some rules from this family give essentially better results than the known rules, especially if the noise level of the data is over- or underestimated. We plan to study this family of rules both theoretically and numerically. Development of rules for choosing the regularization parameter that are considerably more stable with respect to the noise level enables us to also propose effective choice rules in the case of stochastic noise of the data or if the noise level of the data is not known, but many sets of data are given. We plan to develop a similar family of rules for iteration methods, also for the case of self-adjoint operators. In case of an unknown noise level often good results are gotten by choosing the parameter by the quasi-optimality principle, but sometimes this choice fails. We plan to develop a so-called generalized quasi-optimality principle enabling diminishing of the failure rates. We also consider regularization of the nonlinear equations with a monotone operator by dynamical systems method with the aim to clarify if or when the classical discrepancy principle is applicable (the modification of the discrepancy principle used so far does not guarantee the optimal rate of accuracy of the approximate solution). It is also planned to study the cordial Volterra integral operators to clarify between which spaces these operators are invertible and their inverse operators are bounded. It is planned to study numerical solution of the corresponding integral equations of the first kind by the polynomial or spline-collocation method. We are also going to study uniqueness and existence of a solution of integral equations of interior source methods and numerical methods for solving these equations. Convergence rates, stability, regularization and efficient implementation of the algorithms are of interest.
Mittekorrektsete ülesannete lahendamiseks (itereeritud) Tihhonovi ja Lavrentjevi meetoditega on regulariseerimisparameetri valikuks välja töötatud mitmeparameetrilised reeglite pered, mis on lähteandmete veataseme üle- ja alahindamisel tuntud valikureeglitest oluliselt stabiilsemad. Regulariseerimismeetodite klassi jaoks on näidatud paljude tuntud parameetrivaliku reeglite kvaasioptimaalsus ka veaga antud operaatori korral, monotoonse vea reegli veahinnang ka lähteandmete veataseme üldistatud informatsiooni jaoks. Tihhonovi meetodi regulariseerimisparameetri valikuks lähteandmete veataseme info puudumisel on välja töötatud tasakaalustatud kvaasioptimaalsuskriteerium, mis on testimisel andnud häid tulemusi. Banachi ruumides vaadeldud mittekorrektsete ülesannete lahendamisel projektsioonimeetoditega on näidatud koonduvustingimused nii täpsete kui ligikaudsete lähteandmete korral. Ligikaudsete lähteandmete korral valitakse projektsiooniruumi dimensioon sõltuvalt lähteandmete veatasemest hälbe printsiibi või monotoonse vea reegli alusel. On tuletatud erinevate lähislahendite täpsuse võrdluse tingimus operaatorvõrrandite jaoks, samuti tingimusliku stabiilsuse hinnangud osatuletistega ülesannete jaoks. Südamlike Volterra integraalvõrrandite ja singulaarsete murruliste diferentsiaalvõrrandite jaoks on tõestatud lahendi olemasolu ja ühesus nii ruumis Cm kui analüütiliste funktsioonide ruumis, südamlike integraalvõrrandite jaoks ka lahendi stabiilsushinnangud võrrandi lähteandmete häirituste suhtes. Tulemusi on rakendatud Abeli võrrandile. On tõestatud polünomiaalse ning splain-kollokatsioonimeetodi koonduvus ja optimaalne koonduvuskiirus. Esimest liiki võrrandite jaoks on kollokatsioonimeetodi koonduvus näidatud ka projektsiooniruumi dimensiooni valikul hälbe printsiibi abil. Siseallikate meetodites tekkivate integraalvõrrandite jaoks on kolmemõõtmelisel juhul tõestatud lahendi olemasolu ja ühesus ning pideva vähimruutude meetodi eksponentsiaalne koonduvuskiirus diferentsiaalvõrrandi lahend analüütilise jätkatavuse korral üle piirkonna raja.