"Eesti Teadusfondi uurimistoetus" projekt ETF8830
ETF8830 "Elastsete konstruktsioonide modelleerimine lainikutega purunemise korral (1.01.2011−30.06.2015)", Helle Hein, Tartu Ülikool, Matemaatika-informaatikateaduskond.
ETF8830
Elastsete konstruktsioonide modelleerimine lainikutega purunemise korral
Wavelet methods in modeling fracture of elastic structures
1.01.2011
30.06.2015
Teadus- ja arendusprojekt
Eesti Teadusfondi uurimistoetus
ValdkondAlamvaldkondCERCS erialaFrascati Manual’i erialaProtsent
4. Loodusteadused ja tehnika4.13. Mehhanotehnika, automaatika, tööstustehnoloogiaT125 Automatiseerimine, robootika, control engineering 2.3. Teised tehnika- ja inseneriteadused (keemiatehnika, lennundustehnika, mehaanika, metallurgia, materjaliteadus ning teised seotud erialad: puidutehnoloogia, geodeesia, tööstuskeemia, toiduainete tehnoloogia, süsteemianalüüs, metallurgia, mäendus, tekstiilitehnoloogia ja teised seotud teadused).50,0
4. Loodusteadused ja tehnika4.4. MatemaatikaP130 Funktsioonid, diferentsiaalvõrrandid 1.1. Matemaatika ja arvutiteadus (matemaatika ja teised sellega seotud teadused: arvutiteadus ja sellega seotud teadused (ainult tarkvaraarendus, riistvara arendus kuulub tehnikavaldkonda)50,0
PerioodSumma
01.01.2011−31.12.201111 040,00 EUR
01.01.2012−31.12.201211 040,00 EUR
01.01.2013−31.12.201311 040,00 EUR
01.01.2014−31.12.201411 040,00 EUR
01.01.2015−30.06.20150,00 EUR
44 160,00 EUR

Lainikuid on kasutatud diferentsiaal– ja integraalvõrrandite integreerimisel juba pikka aega. Enamikul juhtudel rakendatakse Daubechies' (või analoogilisi) lainikuid. Need lainikud on ortogonaalsed ja piisavalt siledad, kuid nende puuduseks on analüütilise esituse puudumine. Seetõttu lainikuid ja nende tuletisi sisaldavate avaldiste diferentseerimine ja integreerimine on keerukas. Selliste integraalide leidmiseks tuuakse sisse nn. sidemekoefitsiendid, kuid see muudab lahenduskäigu oluliselt keerukamaks. Analüütiliselt esitatavate lainikute hulgas pälvivad erilist tähelepanu Haari lainikud. Nad koosnevad tükati konstantsete funktsioonide paaridest ja on matemaatiliselt lihtsaimad võrreldes teiste lainikutega. Nad on analüütiliselt integreeritavad suvaline arv korda. Taotlejad on uurinud Haari lainikute meetodi rakendamise võimalusi erinevat tüüpi diferentsiaal- ja integraalvõrrandite korral juba mitu aastat. Hetkel ei ole kuigi palju artikleid Haari lainikute meetodi rakendamisest konstruktsioonide mehaanika probleemide lahendamisel. Projekti peamine eesmärk on töötada välja Haari lainiku põhine pragude teooria, mille abil on võimalik modelleerida erinevaid konstruktsioone, mis sisaldavaid pragusid. Järgmise sammuna on kavas töötada välja Haari lainiku põhine meetod 2-dimensionaalsete rajaülesannete jaoks, mille abil on võimalik modelleerida tasandilisi elastseid konstruktsioone purunemise korral. Samuti on eesmärgiks elastsete konstruktsioonide mittelineaarsete ülesannete lahendamine Haari lainikute meetodil ja välja töötada kombineeritud meetodeid parameetrite identifitseerimiseks elastsetes konstruktsioonides purunemise korral.
The wavelet methods have been applied for solving differential and integral equations for a long time. In most cases Daubechies (or similar) wavelets are applied. These wavelets are orthogonal and sufficiently smooth but their shortcoming is lacking of explicit expression. By this reason differentiation and integration of these wavelets is very complicated. For evaluation of such integrals the connection coefficients are introduced, but this complicates the course of solution to a great extent. Among the wavelet families, which are defined by an analytical expression, special attentions deserve the Haar wavelets. They are made up of pairs of piecewise constant functions and are mathematically the simplest among all the wavelet families. They can be integrated analytically arbitrary times. We have investigated the possibilities to apply the Haar wavelet method for solving different types of differential and integral equations already several years. At the present there are not many papers in which the Haar wavelet method has been applied for solving problems of structural mechanics. The main objectives of the project are to elaborate Haar wavelet-based crack theory for modeling different structures with cracks. The next step will be to combine the Haar wavelet-based method for solving 2-dimensional boundary value problems for solving plane elasticity fracture problems. Our aim is also to elaborate Haar wavelet-based method for solving non-linear problems of elastic structures and to establish hybrid methods for parameter identification in elastic structures with flaws.
On välja töötatud meetod 2-dimensionaalsete Haari lainikute rakendamine harilike ja osatuletistega diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Arvutisimulatsioonid näitasid, et meetod garanteerib vajaliku täpsuse juba väikese arvu sõlmede korral. Oleme uurinud Haari lainikute rakendusvõimalusi võnkuvate süsteemide korral konstruktsioonide dünaamikas. On välja töötatud meetodid elastsete talade modelleerimiseks (i)pragude, (ii) lisatugede, (iii) elastse aluse olemasolu korral arvestades bucklingut. Haari lainikute meetodit rakendati pidevalt muutuva ristlõikega Euler–Bernoulli ja Timoshenko talade korral, kusjuures nii materjali omadused (nt. elastsusmoodul ja tihedus) kui ka tala geomeetrilised parameetrid muutuvad mittelineaarselt. Sellisel juhul on tegemist komposiitmaterjalidest keerukate konstruktsioonidega, mille kasutusvaldkond tänapäeval järjest laieneb. Tulemused on avaldatud ajakirjades artiklitena ja esitatud konverentsidel. 2014 aastal ilmus kirjastuses Springer monograafia Lepik, Ülo; Hein, Helle (2014). Haar Wavelets: With Applications, mis võtab kokku aastatel 2011-2014 tehtud tööd antud projekti raames. Aastal 2015 ilmus Ülo Lepiku ja Helle Heina ülevaateartikkel lainikute rakendamisest erinevat tüüpi ülesannete korral: Lepik, Ü., Hein, H., Application of the Haar wavelet method for solution the problems of mathematical calculus, Waves, Wavelets and Fractals. Teise suunana uuriti Haari lainikute kasutusvõimalusi parameetrite identifitseerimiseks võnkuvates süsteemides, samuti pragude suuruse ja asukoha määramiseks. Masinõppe meetodid on osutunud kasulikuks mittelineaarsete probleemide korral, kui lahendust otsesel kujul on raske leida. Töötati välja hübriidmeetodid parameetrite identifitseerimiseks võnkuvate talade korral. Kompleksmeetod ühendab tehisnärvivõrkude, tugivektormasinate, random foresti ja Haari lainikute rakendamist identifitseerimisülesande erinevatel etappidel. Tulemused on publitseeritud ajakirjaartiklites ja esitatud ettekannetes rahvusvahelistel konverentsidel.