"Eesti Teadusfondi uurimistoetus" projekt ETF8394
ETF8394 "Kategoorse ekvivalentsi küsimusi algebras (1.01.2010−31.12.2013)", Valdis Laan, Tartu Ülikool, Matemaatika-informaatikateaduskond.
ETF8394
Kategoorse ekvivalentsi küsimusi algebras
Categorical equivalence problems in algebra
1.01.2010
31.12.2013
Teadus- ja arendusprojekt
Eesti Teadusfondi uurimistoetus
ETIS klassifikaatorAlamvaldkondCERCS klassifikaatorFrascati Manual’i klassifikaatorProtsent
4. Loodusteadused ja tehnika4.4. MatemaatikaP120 Arvuteooria, väljateooria, algebraline geomeetria, algebra, rühmateooria 1.1. Matemaatika ja arvutiteadus (matemaatika ja teised sellega seotud teadused: arvutiteadus ja sellega seotud teadused (ainult tarkvaraarendus, riistvara arendus kuulub tehnikavaldkonda)100,0
PerioodSumma
01.01.2010−31.12.2010158 400,00 EEK (10 123,61 EUR)
01.01.2011−31.12.201110 123,20 EUR
01.01.2012−31.12.201210 123,20 EUR
01.01.2013−31.12.201310 123,20 EUR
40 493,21 EUR

Projekti üldiseks eesmärgiks on uurida mitmesuguseid kategoorse ekvivalentsiga seotud küsimusi algebras. Töö jaguneb kahte põhisuunda: 1) nn Morita teooria, 2) kategoorne ekvivalents universaalalgebras. Esimeses suunas on põhitähelepanu poolrühmade, mis omavad teatud lokaalseid ühikuid, tugeval Morita ekvivalentsusel (defineeritud Morita kontekstide kaudu). Eesmärgiks on välja selgitada, kuidas tugev Morita ekvivalentsus on seotud selliste mõistetega nagu Rees'i maatrikspoolrühm, Morita poolrühm, Cauchy täield, laiend jt) ning leida Morita invariante, st omadusi, mis säilivad tugevalt Morita ekvivalentsuse puhul. Samuti soovime kirjeldada poolrühmi, mis on tugevalt Morita ekvivalentsed mõne „hea“ poolrühmaga (rühmad, monoidid, inverssed poolrühmad). Lisaks soovime uurida osaliselt järjestatud monoidide (pomonoidide) Morita ekvivalentsust. Eesmärk on kindlaks teha, mil määral nende puhul kehtivad klassikalised Morita teoreemid, ning leida Morita invariante. Veel soovime leida „õige“ Morita duaalsuse definitsiooni pomonoidide jaoks ning kirjeldada pomonoidid, millel on duaalne pomonoid. Lõpuks, tahame proovida laiendada saadud tulemusi rikastatud kategooriatele. Teises suunas soovime uurida algebrate p-kategoorset ekvivalentsust. Me nimetame algebraid p-kategoorselt ekvivalentseks, kui neist konstantide lisamisel saadud algebrad on kategoorselt ekvivalentsed. p-kategoorne ekvivalentsus on tähtis seos algebrate vahel, kui primaarseks huviobjektiks on polünoomfunktsioonide toime. Peamiselt oleme huvitatud võredest ja rühmadest, aga ka võimalikest üldistustest. Eesmärgiks on leida p-kategoorseid invariante, kirjeldada algebraid, mis on p-kategoorselt ekvivalentsed antud algebraga, mõnel juhul ka kirjeldada p-kategoorse ekvivalentsi klasse. Näiteks soovime mõista, millised on järjestus-afiinselt täielike lõplike võrede p-kategoorse ekvivalentsi klassid. Lõplike rühmade p-kategoorse ekvivalentsi uurimiseks on kavas hankida uusi teadmisi polünoomfunktsioonide toime kohta neil. Näiteks soovime leida uusi rühmade klasse, mille polünoomfunktsioonid on määratud oma toimega rühma n-ndal otseastmel võimalikult väikese n korral. Peale selle soovime klassifitseerida kategoorse ekvivalentsi täpsuseni enamustermiga minimaalsed algebrad. Selleks tuleb välja selgitada, kuidas antud juhul algebra alamotseastme ruudu alamalgebrad väljenduvad selle algebra ruudu alamalgebrate kaudu. On alust arvata, et see töö viib huvitava monoidide klassi väljaeraldamisele.
The general aim of the project is to study various instances of categorical equivalences in algebra. The work splits in two main directions: 1) so-called Morita theory, 2) categorical equivalence in universal algebra. In the first direction our basic interest is in strong Morita equivalence (defined using Morita contexts) of semigroups with some kind of local units. Our aim is to determine how strong Morita equivalence is related to such notions as Rees matrix semigroups, Morita semigroups, Cauchy completions, enlargements etc) and to find Morita invariants of semigroups (properties pereserved by Morita equivalence). We wish to describe semigroups that are strongly Morita equivalent to some "nice" semigroups (groups, monoids, inverse semigroups). We also wish to study Morita equivalence of partially ordered monoids (pomonoids, in short). Our aim is to determine to what extent in this case the classical Morita theorems hold, and to explore Morita invariants. We also wish to find a „right“ definition of Morita duality for pomonoids and to describe pomonoids that have a Morita dual. Finally, we want to try to generalize the obtained to enriched categories. In the second direction we wish to study p-categorical equivalence of algebras. We call algebras p-categorically equivalent if the algebras obtained from them by adding constants as new operations are categorically equivalent. The p-categorical equivalence is an important relation between algebras if the primary interest is in polynomials. Our basic focus is on finite groups and lattices and on possible generalizations. We wish to find p-categorical invariants, to describe algebras p-categorically equivalent to a given algebra, in some cases to describe p-categorical equivalence classes (for example, in the case of finite order affine complete lattices). In order to study p-categorical equivalence of groups, we need to get new information on the behaviour of polynomial functions on groups. One of the most important goals is to find new classes of groups whose polynomial functions are determined by their behaviour on the n’th power of the group, with n possibly small. Finally, we wish to classify up to categorical equivalence minimal algebras with majority term. For that purpose we need to express subalgebras of the square of a subdirect power of such algebra via subalgebras of the square of the given algebra. There is a reason to believe that this will lead to an interesting new class of monoids.