"Personaalne uurimistoetus" projekt PUT568
PUT568 "Pöördülesanded murdtuletisi sisaldavatele paraboolsetele diferentsiaalvõrranditele (1.05.2015−31.12.2018)", Jaan Janno, Tallinna Tehnikaülikool, Matemaatika-loodusteaduskond, Tallinna Tehnikaülikool, Loodusteaduskond, Küberneetika instituut.
PUT568
Pöördülesanded murdtuletisi sisaldavatele paraboolsetele diferentsiaalvõrranditele
Inverse problems for parabolic differential equations with fractional derivatives
1.05.2015
31.12.2018
Teadus- ja arendusprojekt
Personaalne uurimistoetus
Otsinguprojekt
ETIS klassifikaatorAlamvaldkondCERCS klassifikaatorFrascati Manual’i klassifikaatorProtsent
4. Loodusteadused ja tehnika4.4. MatemaatikaP130 Funktsioonid, diferentsiaalvõrrandid 1.1. Matemaatika ja arvutiteadus (matemaatika ja teised sellega seotud teadused: arvutiteadus ja sellega seotud teadused (ainult tarkvaraarendus, riistvara arendus kuulub tehnikavaldkonda)100,0
PerioodSumma
01.01.2015−31.12.201538 400,00 EUR
01.01.2016−31.12.201657 600,00 EUR
01.01.2017−31.12.201757 600,00 EUR
01.01.2018−31.12.201857 600,00 EUR
211 200,00 EUR

Vaadeldakse pöördülesandeid lineaarsetele ja semilineaarsetele murdtuletistega paraboolset tüüpi diferentsiaalvõrranditele nii klassikalises (siledas) kui ka nõrgas (mittesiledas) seades. Üks ülesannete klass seisneb koefitsientide ja allikafunktsioonide määramises hetk- või integraaltingimuste põhjal, mis on ette antud vastava pärpidiülesande lahendi jaoks. Teises ülesannete klassis määratakse üldistatud murdtuletistes sisaduvaid tuumi rajapinnal tehtud mõõtmiste alusel. Uuritakse püstitatud pöördülesannete lahendite olemasolu, ühesust ja stabiilsust.
Inverse problems for linear and semi-linear fractional parabolic differential equations are considered both in classical (smooth) and weak (non-smooth) formulation. One class of problems consists in determining coefficients and source terms of the equations by means of instant or integral data about the solution of the related direct problem. In the second class of problems kernels of generalized fractional time derivatives are identified by means of boundary measurements. Existence, uniqueness and stability of the solutions of the posed inverse problems are studied.
Mitmetes teadusharudes ja inseneerias esineb tihti ülesandeid, milles tuleb määrata keskkondade ja protsesside omadusi ja karakteristikuid kaudsete mõõtmiste teel, keskkonda sisenemata ja/või protsessi vaid osaliselt jälgides. Matemaatilises terminoloogias on tegemist pöördülesannetega. Antud projekti raames uuriti pöördülesandeid aeglase difusiooni mudelite jaoks. Aeglase difusiooni näiteiks on põhjavete filtratsioon, molekulide dünaamika rakkudes, osakeste liikumise optiliste pintsettide all ja paljud muud protsessid. Matemaatiliselt kirjeldavad selliseid protsesse murrulisi tuletisi sisaldavad paraboolset tüüpi diferentsiaalvõrrandid. Projektis vaadeldi pöördülesandeid keskkondades sisalduvate allikate, murruliste tuletiste parameetrite jt keskkondi iseloomustavate suuruste määramiseks. Uuriti pöördülesannete lahendite olemasolu, ühesust ja stabiilsust mõõtmiste väikeste vigade suhtes. Projekti tulemused arendavad edasi pöördülesannete teooriat ja omavad rakenduslikke väljundeid paljudes valdkondades, nt bioloogiliste populatsioonide levi, sh viiruste paljunemine, reostusallikate määramine jm. Projekti olulisimaks saavutuseks on teoreetilised tulemused üldistatud murrulisi tuletisi sisaldavatele difusioonimudelitele püstitatud pöördülesannete jaoks. Taolised mudelid omavad tavalisi murrulisi tuletisi sisaldavate difusioonimudelitega võrreldes rohkem vabadusastmeid ja kirjeldavad paljusid protsesse täpsemalt.