"Eesti Teadusfondi uurimistoetus" projekt ETF9104
ETF9104 "Singulaarsustega integraal - ja diferentsiaalvõrrandid (1.01.2012−30.06.2016)", Arvet Pedas, Tartu Ülikool, Matemaatika-informaatikateaduskond.
ETF9104
Singulaarsustega integraal - ja diferentsiaalvõrrandid
Integral and differential equations with singularities
1.01.2012
30.06.2016
Teadus- ja arendusprojekt
Eesti Teadusfondi uurimistoetus
ETIS klassifikaatorAlamvaldkondCERCS klassifikaatorFrascati Manual’i klassifikaatorProtsent
4. Loodusteadused ja tehnika4.4. MatemaatikaP130 Funktsioonid, diferentsiaalvõrrandid 1.1. Matemaatika ja arvutiteadus (matemaatika ja teised sellega seotud teadused: arvutiteadus ja sellega seotud teadused (ainult tarkvaraarendus, riistvara arendus kuulub tehnikavaldkonda)100,0
PerioodSumma
01.01.2012−31.12.20128 496,00 EUR
01.01.2013−31.12.20138 496,00 EUR
01.01.2014−31.12.20148 496,00 EUR
01.01.2015−31.12.20158 496,00 EUR
33 984,00 EUR

Töötatakse välja optimaalse täpsusega diskreetsed meetodid singulaarsustega mittelineaarsete integraalvõrrandite, integro-diferentsiaalvõrrandite ja murruliste tuletistega diferentsiaalvõrrandite ligikaudseks lahendamiseks. Uuritakse vaadeldavate võrrandite lahendite siledust ning tuletiste võimalikke iseärasusi mitmesuguseid singulaarsusi omavate algandmete korral. Uuritakse meetodite koonduvuskiirust ja tuletatakse veahinnangud, mis arvestavad algandmete ja lahendi singulaarsustega. Vaadeldakse ka lineaarsete integraalvõrrandite omaväärtusülesandeid ning käsitletakse kiirete ja kvaasikiirete meetodite konstrueerimisega seotud küsimusi. Muuhulgas jätkatakse südamlike Volterra integraalvõrrandite uurimist eesmärgiga kohaldada tulemusi singulaarsetele diferentsiaalvõrranditele. Uuritakse hajuva integraali Hadamard’i lõplikku osa (f.p.) ja vastavaid f.p.-integraalvõrrandeid.
Effective discrete methods of optimal accuracy for solving singular nonlinear integral equations, integro-differential equations and fractional differential equations will be elaborated. To this end, in particular, the smoothness and the boundary singularities of the solutions to these problems will be examined. For the linear problem, fast and quasifast solvers will be constructed and analyzed. Also the eigenvalue problem will be treated. The study of cordial Volterra integral equations will be continued with a final goal to apply the corresponding results and methods for solving singular differential equations. Hadamard’s finite part (f.p.) of divergent integrals and the corresponding f.p.-integral equations will be analyzed.
On tõestatud rida tulemusi Riemann-Liouville’i integraaloperaatori väärtuste piirkonna kohta, millega on saadud murruliselt diferentseeruvate funktsioonide klassi täpne kirjeldus. On uuritud Caputo tüüpi murrulist järku tuletistega diferentsiaalvõrrandite lahendite siledust. On antud kriteeriumid sileda lahendi olemasoluks singulaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemide ja singulaarsusi omavate murruliste tuletistega diferentsiaalvõrrandite jaoks. Saadud tulemused on fundamentaalse tähtsusega optimaalse täpsus- ja kompleksusjärguga lahendusmeetodite konstrueerimisel vaadeldud ülesannete numbriliseks lahendamiseks. On käsitletud esimest liiki südamliku Volterra integraalvõrrandi lahenduvuse ja stabiilsusega seotud küsimusi. On konstrueeritud efektiivsed lahendusalgoritmid murruliste tuletistega diferentsiaalvõrrandite ja integro-diferentsiaalvõrrandite jaoks situatsioonis, kus võrrandi kordajate tavalised tuletised võivad omada iseärasusi integreerimislõigu alguspunktis. On välja töötatud kõrget järku täpsusega arvutusskeemid iseärasustega teist liiki integraalvõrrandite jaoks, mis kasutavad iseärasusi maha suruvat muutujate vahetust ning mis tuginevad kas splainidega kollokatsioonimeetodile ühtlasel või nõrgalt gradueeritud ebaühtlasel võrgul, korrutise integreerimise meetodile ja kvaasi-interpoleerimisele siledate splainidega ühtlasel võrgul või osalõikude keskosaga seotud interpolatsioonile splainidega. On näidatud,et keskosa interpoleerimisele tuginevad splainidega kollokatsioonimeetodid on mõnevõrra täpsemad ja numbriliselt stabiilsemad, kui standardsed splainidega kollokatsioonimeetodid singulaarsustega integraalvõrrandite ligikaudsel lahendamisel. On käsitletud lineaarse nõrgalt singulaarse Fredholmi teist liiki integraalvõrrandi kiirete ja kvaasikiirete meetodite konstrueerimisega seotud küsimusi.